Question

如图，已知直线AB：y₁=k₂x+b=与x轴交于点C，与双曲线y₂= 交于A（3，）、B（-5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．
（3）请根据图象直接写出y₁＜y₂时x的取值范围．

Answer

（1）将A点坐标代入双曲线解析式求k2，确定双曲线解析式，再求B点坐标，设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点坐标代入求直线AB解析式；
（2）由直线解析式求C点坐标，由AD⊥x轴确定D点坐标，再求CD，根据B点坐标求BE，证明线段BE与CD平行且相等，得出四边形CBED为平行四边形，由勾股定理求DE，得出CD=DE，证明▱CBED为菱形；
（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．
【解析】
（1）∵双曲线y=过A（3，），
∴k=xy=20，把B（-5，a）代入y=，得a=-4．
∴点B的坐标是（-5，-4），
设直线AB的解析式为y=mx+n，将A（3，）、B（-5，-4）代入，
得，
解得：．
∴直线AB的解析式为：y=x+；

（2）四边形CBED是菱形．理由如下：
点D的坐标是（3，0），点C的坐标是（-2，0），
∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形，
在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2，
∴ED==5，
∴ED=CD．
∴四边形CBED是菱形；

（3）当y1＜y2时，x＜-5或0＜x＜3．