Question

已知：如图，⊙O的直径AD=2，==，∠BAE=90°．
（1）求△CAD的面积；
（2）求四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比（结果保留π）

Answer

（1）根据等弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角是直角，即可确定△ACD是一个角是30度的直角三角形，利用三角函数即可求得AC，CD的长，从而求得三角形的面积；
（2）过B作BF⊥AC，垂足为F，利用三角形的面积公式即可求得△ABC的面积，则四边形ABCD的面积即可求得，然后求得圆的面积即可求解．
【解析】
（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°
∵==，∠BAE=90°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°
∵在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=30°，
∴CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=
∴S△ACD=AC•CD=
（2）连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，
∴∠BDA=30°
∴∠BCA=∠BDA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC
过B作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=AC=，
∴BF=AFtan30°=
∴S△ABC=AC•BF=
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
∵S⊙O=π×12=π，
∴四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比==．