Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP²、PQ²、CQ²三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．

Answer

（1）通过垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余以及等量代换，可以证得△PBM与△QNM中的两个角对应相等，所以这两个三角形一定相似；
（2）①若BP=3，根据△PBM∽△QNM的对应边成比例可以求得NQ的长，即Q一分钟移动的距离，即点Q的速度；
②分别用时间t表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．注意需要分类讨论：当0＜t＜4时，AP=AB-BP=4-t，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系式；当t≥4时，AP=t-4，AQ=4+t，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系式；
（3）PQ2=BP2+CQ2．作辅助线延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD构建平行四边形BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2；最后利用线段垂直平分线的性质知PQ=PD，所以由等量代换证得该结论．
【解析】
（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．
∴△PBM∽△QNM；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8cm．
又∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，
∴MN=CM=4cm；
①设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜t＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴（相似三角形的对应边成比例），即=，
∴v=1；
如图2，当t≥4时，同理可得v=1．
综上所述，Q点运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴如图1，当0＜t＜4时，AP=AB-BP=4-t，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，
∴S=AP•AQ=（4-t）（4+t）=-t2+8；
如图2，当t≥4时，AP=t-4，AQ=4+t，
∴S=AP•AQ=（t-4）（4+t）=t2-8；
综上所述，S=；

（3）PQ2=BP2+CQ2．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．