Question

如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
（1）如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=______cm；
②求证：EP=AE+DP；
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

Answer

（1）①由折叠知BE=EM．AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．根据边长及中点易求周长；②延长EM交CD延长线于Q点．可证△AEM≌△DQM，得AE=DQ，EM=MQ．所以PM垂直平分EQ，得EP=PQ，得证；
（2）不变化．可证△AEM∽△DMP，两个三角形的周长的比是AE：MD，设AE=x，根据勾股定理可以用x表示出MD的长与△MAE的周长，根据周长的比等于相似比，即可求解．
【解析】
（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
②现证明EP=AE+PD
方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，
∴MG=（AE+PD），
在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，
∴MG=EP，
∴EP=AE+PD．
方法二：延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周长保持不变．
设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4-AE）2，
整理得：AE2+x2=16-8AE+AE2，
∴AE=（16-x2），
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴
∴C△PDM=C△MAE•=（4+x）•=8．
∴△PDM的周长保持不变．