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如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB为⊙O的直径...

如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB为⊙O的直径.
(1)若AD=2,AB=BC=8,连接OC、OD.
①求△COD的面积;
②试判断直线CD与⊙O的位置关系,说明理由.
(2)若直线CD与⊙O相切于F,AD=x(x>0),AB=8.试用x表示四边形ABCD的面积S,并探索S是否存在最小值,写出探索过程.

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(1)①根据S△COD=S梯形ABCD-S△AOD-S△BOC来解答; ②求直线CD与⊙O的圆心间的距离,然后根据此距离判断直线CD与⊙O的位置关系; (2)根据勾股定理求得关于x的方程,然后求二次函数的最值即可. 【解析】 (1)①S△COD=S梯形ABCD-S△AOD-S△BOC = ==40-4-16=20. (或先证明△COD是直角三角形进而求其面积.) ②过D作DE⊥BC,E是垂足,从而四边形ABED是矩形. BE=AD=2,CE=6,DE=AB=8. 在Rt△CDE中,CD=10.过O作OF⊥CD于F, 由S△COD==20,可得OF=4, 表明点O到CD的距离等于⊙O的半径,故直线CD与⊙O相切; (2)在四边形ABCD中, ∵AD=x>0,设BC=y,则CD=x+y,CE=|y-x|, ∴在Rt△CDE中,根据勾股定理,得 (y-x)2+64=(x+y)2,于是,x>0. 进而,x>0. ∵x>0,, ∴当,x=4时,有最小值8,从而S有最小值32.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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