Question

已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF=45°．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想．
（2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围．
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系．
（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2．问△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，请说明理由．

Answer

（1）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在一直线上．证得AF′E≌△AFE．从而得到EF=F′E=BE+DF；
（2）由（1）得 EF=x+y再根据 CF=1-y，EC=1-x，得到（1-y）2+（1-x）2=（x+y）2．化简即可得到y=（0＜x＜1）．
（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在．当点E在BC延长线上时，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，证得△AF′E≌△AFE．即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．从而得到此时⊙E与⊙F内切．
（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可．这时有 CF=CE．设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．由 CE2+CF2=EF2，得（x-1）2+（1+y）2=（x-y）2．
化简可得 y=（x＞1）．又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化简得x2-2x-1=0，解之即可求得BE的长．
【解析】
（1）猜想：EF=BE+DF．理由如下：
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在一直线上．如图1．
∵AF′=AF，
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF，
又 AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=F′E=BE+DF；

（2）由（1）得 EF=x+y
又 CF=1-y，EC=1-x，
∴（1-y）2+（1-x）2=（x+y）2．
化简可得y=（0＜x＜1）；

（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知   EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；
②当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在．
③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，图2．
有  AF′=AF，∠1=∠2，BF′=FD，
∴∠F′AF=90°．
∴∠F′AE=∠EAF=45°．
又 AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．
∴此时⊙E与⊙F内切．
综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切；

（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可．
这时有 CF=CE．…（1分）
设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．
由 CE2+CF2=EF2，得（x-1）2+（1+y）2=（x-y）2．
化简可得  y=（x＞1）．
又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化简得
x2-2x-1=0，解之得                  
x=1+或x=1-（不符题意，舍去）．
∴所求BE的长为1+．