Question

已知抛物线与x轴两交点间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积．

Answer

根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，再将顶点（-1，4）代入，由抛物线与x轴两交点间的距离为4，再设抛物线和x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＞x2）由根与系数的关系得出x1-x2．
【解析】
设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，
∵顶点为（-1，4），
∴y=a（x+1）2+4，
即y=ax2+2ax+a+4，
∵抛物线与x轴两交点间的距离为4，
∴设抛物线和x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＞x2），
∴x1+x2=-2，x1•x2=，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=4-4×，
∵x1-x2=4，
∴4-4×=16，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）2+4，
令x=0，得y=-（0+1）2+4=-1+4=3，
∴C（0，3），
∴S△ABC=×4×3=6．