Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于点E．DP⊥CB于点P，连接AP、AE．
（1）如图1，若∠C=45°，求证：AP=AE．
（2）如图2，若∠C=60°，直接写出线段AP、AE的数量关系______

Answer

（1）如图1，连接PE，由条件可以得出△PDC，△DEF是等腰直角三角形，可以证明△ADE≌△PFE，从而证明△AEP为等腰直角三角形，就可以得出结论．
（2）如图2，连接PE，由∠C=60°，由条件可以得出∠5=∠8=30°，∠1=∠3=60°，可以证明△ADE∽△PFE，得出∠6=∠7，，从而可以求出∠PAE=30°就可以求出cos30°==，从而求出其值．
（3）如图3，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．构建相似三角形：△NGE∽△NBK．利用（1）的结论，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质求得GE=2，BK=3．由相似三角形的对应边成比例知=，从而求得NE的值．
【解析】
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．
∵DP⊥CB，
∴AB∥DP，
∴四边形ABPD是矩形，
∴AD=BP．
∵BE⊥CD，∠C=45°，
∴在Rt△BEC中，∠EBC=∠C=45°．
则在Rt△BFP中，∠FBP=∠BFP=45°，
∴BP=FP，
∴AD=PF．
在Rt△DEF中，∠EDF=∠EFD=45°，则DE=EF．
∴∠ADE=∠ADP+∠FDE=135°，∠PFE=180°-∠BFP=180°-45°=135°，
∴∠ADE=∠PFE．
在△ADE与△PFE中，
，
∴△ADE≌△PFE（SAS），
∴AE=PE，∠DEA=∠FEP，
∴∠DEA+∠AEF=∠FEP+∠AEF=∠AEP=90°，即△AEP是等腰直角三角形，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理，得
AE2+PE2=AP2
即AP=AE；

（2）如图2，连接PE．∵∠C=60°，DP⊥BC，BE⊥DC，
∴∠8=∠5=30°，∠1=∠3=60°（对顶角相等），
∴△ADE∽△PFE，
∴∠6=∠7（相似三角形的对应角相等），，
∴∠PAE=30°，
∴cos30°==，解得．

（3）如图3，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．
∴GE∥BC，EH∥GB，
∴四边形GBHE是矩形．
∴GE=BH．
由（1）知，∠DEA=∠FEP．
∵∠DEA=∠DEN，∠DEN=∠KEC（对顶角相等），
∴∠FEP=∠KEC（等量代换），
∴∠EPK=45°+∠BEP，∠EKP=45°+∠KEC，
∴∠EPK=∠EKP，
∴PE=EK．
∵AE=PE，AP=AE，EK=，
∴AP=EK=，BP=1，
∴AB===3，则AB=DP=PC=3．
∴BC=BP+PC=1+3=4，
∴BH=BC=2，
∴BK=3．
易证△NGE∽△NBK，
∴=，即=，
解得，NE=2．