Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是BC的中点，连接DO并延长到F使AF=OC．
（1）写出图中所有全等的三角形（不用证明）；
（2）探究：当∠1等于多少度时，四边形OCAF是菱形？请回答并给予证明．

Answer

（1）根据全等三角形的判定，和圆的性质，可判定△ODB≌△ODC；
（2）要四边形OCAF是菱形，需OC=CA=AF=OF，即△AOC为等腰三角形，∠2=60°，那么∠1=30°．
【解析】
（1）△ODB≌△ODC，△AOC≌△AOF．
证明：∵AF=OC=OF=AO，
∴三角形AOF为等边三角形，
∴∠3=60°，且∠3=∠DOB=60°，
又∵D是BC的中点，∴DF⊥BC，
∴∠1=30°；
∵∠2=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵△AOF是等边三角形，AF=OC=OF=AO，
∴△AOC≌△AOF；

（2）当∠1=30°时，四边形OCAF是菱形．（6分）
方法一：
∵∠1=30°AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=60°，而OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，（8分）
∴OA=OC=CA，
又∵D，O分别是BC，BA的中点，
∴DO∥CA，∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=OF，（9分）
∴OC=CA=AF=OF，
∴四边形OCAF是菱形．（10分）

方法二：
∵∠1=30°，AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=∠OCA=60°，
∴∠4=60°，
∴△OCA是正三角形，OC=CA．（8分）
又∵D，O分别是BC，BA的中点，
∴DO∥CA，
∴∠5=∠OCA=60°．
∵∠3=180°-∠4-∠5=60°，
又∵AF=OC=OA，
∴∠3=∠AFO=60°，
∴∠AFO=∠5=60°．
∴OC∥AF．（9分）
又∵OC=AF，而OC=CA，
∴四边形OCAF是菱形．（10分）