Question

如图①，在平面直角坐标系xoy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋45°得到射线AN．点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．
（1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值，且时，△BCD的面积为______．（第（4）问需填写结论，不要求书写）

Answer

（1）因为直线与x轴、y轴分别交于C、A两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出点C、点A的坐标，即可求出OA、OC的长度，利用勾股定理即可求出AC=4；
（2）因为AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形，所以需分情况讨论：
①当AD∥BC时，因为将射线AM绕着点A顺时针旋45°得到射线AN，点B为AN上的动点，所以∠DAB=45度．利用两直线平行，内错角相等可得∠ABO=45°，OB=OA=2，又因，所以，所以．
②当AB∥DC时，△BCD的面积=△ADC的面积，因为OA=2，OC=2，AC=4，所以∠DAC=∠ACO=30°，作CE⊥AD于E，因为∠EDC=∠DAB=45°，所以EC=ED=0.5AC=2，AE=2，所以AD=2-2，S△BCD=．
（3）可作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2B．
∴CB+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2，并且有∠C1AD=∠CAD，∠C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4．∠C1AC2=90°．
连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（4）根据（3）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补，因此，∠C2C C1=135°．
利用∠B CC2+∠DCC1+∠BCD=135°，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=180°，结合轴对称可得∠BCD=90°．
利用勾股定理得到CB2+CD2=BD2=（）2，因为CB+CD=4-，可推出CB•CD的值，进而求出三角形的面积．
【解析】
（1）∵直线y=与x轴、y轴分别交于C、A两点，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC=4．

（2）当AD∥BC时，
依题意，可知∠DAB=45°，
∴∠ABO=45°．
∴OB=OA=2．
∵OC=2，
∴BC=2-2．
∴S△BCD=BC•OA=2-2．
当AB∥DC时，
可得S△BCD=S△ACD．
设射线AN交x轴于点E，
∵AD∥x轴，
∴四边形AECD为平行四边形．
∴S△AEC=S△ACD．
∴S△BCD=S△AEC=CE•OA=2-2．
综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，S△BCD=2-2．

（3）作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．
由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2B．
∴CB+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2连接AC1、AC2，
可得∠C1AD=∠CAD，∠C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4．
∵∠DAB=45°，
∴∠C1AC2=90°．
连接C1C2．
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．

（4）根据（3）的作图可知四边形AMCN的对角互补，其中∠DAB=45°，因此，∠C2C C1=135°．
∵∠B CC2+∠DCC1+∠BCD=135°，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=180°，
∠BC2C=∠BCC2，
∠DCC1=∠DC1C，
∴∠BCD=90°．
∴CB2+CD2=BD2=（）2
∵CB+CD=4-，
∴2CB•CD=（）2-（）2∴．
∴．