Question

已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，需先求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标；
（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴，解得a=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．

（2）对称轴为x==1，
令y=-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得k=-1，b=3，
∴直线AB解析式为y=-x+3．
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．

（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA-S△AOB
=（OB+PN）•ON+PN•AN-OA•OB
=（3+y）•x+y•（3-x）-×3×3
=（x+y）-，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=-x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP=（x+y）-=-（x2-3x）=-（x-）2+，
∴当x=时，S△ABP取得最大值．
当x=时，y=-x2+2x+3=，∴P（，）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，）．