Question

已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上．
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．
①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

Answer

（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度；
（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=PT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上；
（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB．①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值．
（1）【解析】
过点P作PQ⊥AB于点Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4
∴AQ=BQ=2，∠APQ=60°（等腰三角形的“三线合一”的性质），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=
∴AP====4；

（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定义）； 
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT；
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT，
∴PS=PT（全等三角形的对应边相等）
∴点P在∠MON的平分线上；

（3）①∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=AB=2，
∴OQ==6，
同理：PQ==2，
∴OP=8，
∵点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，
∴CD=EF=AB，CF=DE=OP，
∴四边形CDEF的周长为：8+4  
②CD和EF是△ABO和△ABP的中位线，
则CD=EF=AB=2，
CF和DE分别是△AOP和△BOP的中位线，则CF=DE=OP，
当AB⊥OP时，OP为四点边形AOBP外接圆的直径时，OP最大，其值是8，OP一定大于当点A或B与点O重合时的长度是4．
则4+4＜t≤8+4．