Question

如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四边形DEFG为矩形，DE=cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．将Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止移动，设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，Rt△ABC平移的时间为x （s）．
（1）求边AC的长；
（2）求y 与x 的函数关系式；
（3）当Rt△ABC移动至重叠部分的面积为cm²时，将Rt△ABC沿边AB向上翻折，得到Rt△ABC′，请求出Rt△ABC′与矩形DEFG重叠部分的周长．
（4）点P从点D出发，沿矩形DEFG的边DE、EF、FG运动到点G停止．其中点P在DE边上的速度为，在EF边上的速度为1cm/s，在FG边上的速度为．若点P与△ABC同时运动，请直接写出点P落在△ABC内部（不含边）时运动时间x的取值范围．

Answer

（1）在直角三角形ABC中，根据BC的长和∠A的与余切值即可求出AC的长；
（2）本题要找出几个关键点：当C与B重合、A与D重合时，x=2．当B与F重合时，x=6；当C与F重合时，x=8；因此本题可分三种情况：
①当0＜x＜2时，此时重合部分是个直角三角形且与三角形ABC相似，可用它们的相似比求出重合部分的面积，
②当2≤x≤6时，重合部分是三角形ACB，因此其面积就是三角形ABC的面积，
③当6＜x＜8时，重合部分是个直角梯形，可参照①的思路进行求解；
（3）可将y的值分别代入（2）的三种情况中，求出符合条件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相关知识进行求解即可；
（4）当P开始运动时，一定在△ABC的外部，在（1）的情况，设在t秒时P在边AB上，BE=tcm，EM=2-2t，根据△ABC∽△MBE，求得t的值，当t大于这个值时，P在△ABC的内部，到P到达BC边上时，不满足条件，一直到P到达F点，再以后开始在△ABC的内部，直到P到达AB边上，根据相似三角形的性质求得此时t的值，即可确定．
【解析】
（1）AC=BC•cot∠A=2（cm）；

（2）如图（1）当0＜x＜2时=（）2，
∴y=××2×2即y=x2；
当2≤x≤6时y=S△ABC=2．
如图（2）当6＜x＜8时，AB交FG于H，
=（）2，
∴S△FHB=（x-6）2．
∴y=S△ABC-S△FHB=2-（x-6）2=-x2+6x-16．
综上所述：y与x的函数关系式为y=；

（3）当0＜x＜2时，x2=，
解得：x=，
如图（3）AB交DE于点M，AC′交DE于点N，
则∠AMN=∠CAB=∠BAC′=30°，
∴MN=AN．
∵在Rt△MEB中，MB=2BE=2，
∴重叠部分的周长=MN+NC′+BM=AN+N′C+C′B+BM=AC′+BC′+BM=2+2+2=4+2（cm）．
当6＜x＜8时，令y=，则2-（x-6）2=，
则（x-6）2=1，
解得：x1=7，x2=5（舍去）．
如图（4）Rt△MFB中，FB═7-6=1，
则MF=1×cot30°=，AM=MB=2，
设MN=AN=a，则NG=，
则+a+=2，
解得：a=．
故重叠部分周长=C△AMN=2a+AM=+2（cm）；

（4）当P开始运动时，一定在△ABC的外部，在（1）的情况，设在t秒时P在边AB上，BE=tcm，EM=2-2t，
根据△ABC∽△MBE，则，即=，
解得：t=，
当＜t＜1时，P一定在△ABC的内部；
当t=1时，P在BC的中点上，且在EF段，P与△ABC运动的速度相同，因而在1≤t≤8时，P始终是BC的中点．
当t=7秒时，P到达F点，再运动则一定在△ABC的内部，根据图（2），△ABC∽△MFB，
则，即=，
解得：t=．
则8＜t＜8时，P在△ABC的内部．
总之，＜t＜1或7＜t＜8时P在△ABC的内部．