Question

如图，△ABC内接于⊙O，D是OB延长线上一点，DA是⊙O的切线，A是切点，且cosD=．
（1）求∠C的度数．  
（2）若AD=6，求AB的长．  
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）连接OA，由DA为圆O的切线，根据切线的性质得到OA与AD垂直，由D为锐角及cosD的值，利用特殊角的三角函数值求出D的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOD的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，由圆心角∠AOB的度数即可求出圆周角∠C的度数；
（2）由第一问求出的∠AOB度数为60°，再加上OA=OB，得到三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的三边长相等，可得出AB=AO，在直角三角形AOD中，由AD及tanD的值，利用锐角三角函数定义求出AO的值，即为AB的长；
（3）由直角三角形AOD两直角边AD及OA乘积的一半求出三角形ADO的面积，过O作OE垂直于AB，根据三线合一得到E为AB的中点，由AB的长得出AE的长，在直角三角形AOE中，由OA及AE的长，利用勾股定理求出OE的长，利用底乘以高除以2求出等边三角形AOB的面积，由三角形AOD的面积减去三角形AOB的面积即可求出阴影部分的面积．
【解析】
（1）连接OA，如图所示：

∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，即∠OAD=90°，
又∵cosD=，∴∠D=30°，
∴∠AOD=60°，
又∠AOB和∠C是分别对的圆心角和圆周角，
∴∠C=∠AOB=30°；                   
（2）∵OA=OB，∠AOD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
在直角三角形AOD中，
∵tan∠AOD=，且AD=6，
∴OA===2，
∴AB=OA=2；               
（3）过点O作OE⊥AB，垂足为点E，如图所示：

在Rt△AOE中，sin60°=，即OE=OA•sin60°=2×=3，
∴S△AOB=AB•OE=×2×3=3，S△AOD=AD•AO=×6×2=6，
则S阴影=S△AOD-S△AOB=6-3=3．