Question

如图，若正△A₁B₁C₁内接于正△ABC的内切圆，则△A₁B₁C₁与△ABC的面积的比值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比例关系，进而得出△A1B1C1与△ABC的面积的比值．
【解析】
设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，
∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，
∴它们的内心与外心重合；
如图：设圆的半径为R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AO=OD•=R，
即AB=2R；
同理可求得：A1B1=R，
∴==，
则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（） 2=．
故选：C．