Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接0G．若OG•DE=3（2-），则⊙O的面积为    ．

Answer

构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．
【解析】
如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=AD，即AD=2OH，
又∵∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
=，即BD2=AD•DE．
BD2=AD•DE=2OG•DE=6（2-）．又BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF2=4BD2=24（2-）①，AC=x，则BC=x，AB=x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=BD=FD．
∴CF=AF-AC=x-x=（-1）x．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF2=BC2+CF2=x2+[（-1）x]2=2（2-）x2②
由①、②，得2（2-）x2=24（2-），
∴x2=12，解得x=2或-2（舍去），
∴AB=x=•2=2，
∴⊙O的半径长为．
∴S⊙O=π•（）2=6π．
故答案为6π．