Question

已知三条线段a，b，c．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作△ABC，使AB=b，BC=c，BC边上的中线AD=a；
（2）已知另一条中线BE（不要求尺规作图）与AD交于点P且△PAB的面积为3，求△ABC的面积．

Answer

（1）先作出线段BC=c，然后作出BC的垂直平分线找出BC的中点D，再以点B为圆心，以b为半径画弧，以D为圆心，以a为半径画弧，两弧相交于点A，然后连接AC，即可得解；
（2）根据三角形的重心性质可得PA=2PD，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比可得△PAB的面积等于2倍△PBD的面积，然后根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD的面积等于△ACD的面积，从而得到△ABC的面积等于3倍△PAB的面积，计算即可得解．
【解析】
（1）如图所示，△ABC即为所求作的三角形；

（2）∵三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍，
∴PA=2PD，
∴S△PAB=2S△PBD，
∴S△PAB=S△ABD，
∵AD是中线，
∴S△ABD=S△ABC，
∴S△PAB=×S△ABC=S△ABC，
∵△PAB的面积为3，
∴S△ABC=3S△PAB=3×3=9．