Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求BE的长；
（2）求△ACD外接圆的半径．

Answer

（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得得出AC=AE，进而得出BE的长；
（2）由第一问的结论AE=AC，用AB-AE可求出EB的长，再由（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB-CD表示出BD=12-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出外接圆半径．
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又AD是△ABC的角平分线（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；
∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：AB==13，
∴BE=13-AC=13-5=8；

（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，
设CD=DE=x，则DB=BC-CD=12-x，EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，
即（12-x）2=x2+82，
解得：x=，
∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：AD==，
根据AD是△ACD外接圆直径，
∴△ACD外接圆的半径为：×=．