Question

如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x²-15x+36=0的两根．
（1）求P点坐标；
（2）求AP的长；
（3）在x轴上是否存在点Q，使以A、Q、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过解方程x2-15x+36=0，得OP、OC的长度，即可推出P点的坐标，（2）根据直角三角形的性质，推出Cos∠ABC==Cos∠ACO=，结合已知条件即可推出AP的长度，
（3）首先设出Q点的坐标，分情况讨论，①AP∥CQ，然后根据，即可求出OQ的长度，即可得Q点的坐标，然后根据P和Q点的坐标即可推出直线PQ的解析式，②PQ∥AC，分别求出即可．
【解析】
（1）∵PO、OC的长是方程x2-15x+36=0的两根，OC＞PO，
∴PO=3，OC=12（2分）
∴P（0，-3）（2分）

（2）在Rt△OBC与Rt△AOC中，cos∠ABC==cos∠ACO，
∴（1分）
设CO=4K，AC=5K，∴CO=4K=12，K=3
∴AO=3K=9，∴A（-9，0）（2分）
∴AP=（1分）

（3）设在x轴上存在点Q（x，0）使四边形AQCP是梯形，
①AP∥CQ，∴，
∵OA=9，OP=3，OC=12，
∴OQ=36，则Q（-36，0），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P（0，-3），Q（-36，0）代入，得，
解得：，
②同理当PQ∥AC，可得PQ的解析式为：y=-x+3；
∴所求直线PQ的解析式为y=-x-3或y=-x+3．