Question

如图，抛物线与y₂关于y轴对称，顶点分别为B、A，y₁与y轴的交点为C．若由A，B，C组成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a与m满足的关系式；
（2）如图，动点Q、M分别在y₁和y₂上，N、P在x轴上，构成矩形MNPQ，当a为1时，请问：
①Q点坐标是多少时，矩形MNPQ的周长最短？
②若E为MQ与y轴的交点，是否存在这样的矩形，使得△CEQ与△QPB相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，再根据轴对称性求出y2的解析式，然后求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后根据tan∠ABC=2列式整理即可得解；
（2）①先根据a=1求出m的值，得到两抛物线的解析式，然后根据抛物线y1的解析式设出点Q的坐标，再根据轴对称的性质以及矩形的周长公式列式整理得到矩形MNPQ的周长表达式，然后根据二次函数的最值问题解答；
②根据点Q的坐标分别表示出CE、QE，PQ、PB，然后分（i）CE和PQ是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解；（ii）CE与PB是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解．
【解析】
（1）y1=a（x-m）2顶点B（m，0），
y2=a（x+m） 2顶点A（-m，0），
交y轴于C（0，am 2），
∵tan∠ABC=2，
∴=2，
即=2，
∴am=2；

（2）①当a=1时，m=2，
所以，y1=（x-2） 2，
令Q（x，（x-2） 2），
则矩形MNPQ的周长：L=2×2x+2（x-2） 2=2x 2-4x+8=2（x-1） 2+6，
所以，当x=1时，周长的最短为6，
此时Q（1，1）；

②存在点Q1（3，1），Q2（3-，3-2），Q3（3+，3+2）使得△CEQ与△QPB相似．
理由如下：∵当a=1时，m=2，
∴am2=4，
∴点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（2，0），
又∵Q（x，（x-2） 2），
∴CE=|4-（x-2） 2|=|x2-4x|，QE=x，
PQ=（x-2） 2，PB=|2-x|，
（i）当CE和PQ是对应边时，∵△CEQ与△QPB相似，
∴=，
即=，
整理得，|x-4|=|x-2|，
所以，x-4=-（x-2），
解得x=3，
此时（x-2） 2=（3-2） 2=1，
所以，点Q的坐标为（3，1），
（ii）CE与PB是对应边时，∵△CEQ与△QPB相似，
∴=，
即=，
整理得，|x-4|×|x-2|=1，
所以，（x-4）（x-2）=1或（x-4）（x-2）=-1，
x2-6x+7=0或x2-6x+9=0，
解得x1=3-，x2=3+，x3=3，
当x1=3-时，（x-2） 2=（3--2） 2=3-2，
当x2=3+时，（x-2） 2=（3+-2） 2=3+2，
综上所述，存在点Q1（3，1），Q2（3-，3-2），Q3（3+，3+2）使得△CEQ与△QPB相似．