Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作切线DE交BC于E
（1）求证：E为BC的中点；
（2）连接AE，当DE∥AB时，求∠CAE的正切值．

Answer

（1）连BD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，而∠ABC=90°，根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EB，则∠EDB=∠EBD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EB=EC；
（2）连OD，过E点作EH⊥AC于H，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OD⊥DE，又DE∥AB，得到OD⊥OB，易证得四边形OBED为正方形，由勾股定理得到AC=2r，DH=HE=DC=r，AH=2r-r=r，则tan∠CAE==．
（1）证明：连BD，如图
∵AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠ADB=90°，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
而∠C=90°-∠EBD，∠CDE=90°-∠EDB，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EB=EC，
即E为BC的中点；

（2）【解析】
连OD，过E点作EH⊥AC于H，设⊙O的半径为r，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥OB，
而OD=OB，
∴四边形OBED为正方形，
∴AB=BC=2r，BE=r，
∴AC=2r，DH=HE=DC=r，
∴AH=2r-r=r，
∴tan∠CAE==．