Question

如图，等腰△ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）连接BG，求sin∠GBC的值．

Answer

（1）连接OD，根据等腰三角形中等边对等角即可证得：∠ODB=∠A，则OD∥AC，再依据DF⊥AC，即可证得OD⊥EF，从而证得EF是圆的切线；
（2）根据BG是直角△ABG与直角△BGC的公共边，依据勾股定理即可得到关于AG的方程，解得AG的长，则依据正切的定义即可求解．
（1）证明：如图，连接OD，则 OD=OB
∴∠CBA=∠ODB．
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠A．
∴∠ODB=∠A．
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠CFE．
∵DF⊥AC于F，
∴∠CFE=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切线．

【解析】
（ 2 ）∵BC是直径，
∴∠BGC=90°，
设 CG=x，则 AG=AC-CG=6-x．
在Rt△BGA中，BG2=AB2-AG2=82-（6-x）2．
在Rt△BGC中，BG2=BC2-CG2=62-x2．
则82-（6-x）2=62-x2．
解得  x=，即CG=．
在Rt△BGC中，sin∠GBC==．