Question

已知抛物线的解析式y=ax²+c满足如下三个条件：a+c=3，ac=-4，a＜c．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．
①在第一象限内，这条抛物线上有一点P，AP交y轴于点D，若，试比较S_△APC与S_△AOC的大小；
②在第一象限内，这条抛物线上是否存在点P′，使得？若存在，请求出点P′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将a+c=3，ac=-4组合，利用a＜c，即可确定a，c的值；
（2）①利用点P在抛物线y=-x2+4上的第一象限内的点，得出m＞0，n＞0，且n=-m2+4，进而求出OG=，再利用已知求出S△PDC，S△AOD的面积，进而得出S△APC与S△AOC的大小关系；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出=，以及利用三角形面积关系得出，进而求出m的值，即可求出点P′的坐标．
【解析】
（1）由
解得：或，
∵a＜c，
∴（不合题意，舍去），
∴a=-1，c=4，
∴所求的抛物线的解析式为：y=-x2+4；

（2）①在抛物线y=-x2+4中，令y=0，
得x=±2；
当x=0时，y=4，
∴A、B、C三点的坐标分别为（-2，0），（2，0），（0，4）．
过点P作PG⊥x轴于G，设点P的坐标为（m，n），
∵点P在抛物线y=-x2+4上的第一象限内的点，
∴m＞0，n＞0，且n=-m2+4，
∴PG=-m2+4，OA=2，AG=m+2，
∵OD∥PG，OD=，
∴=，
即=，
解得m1=，m2=-2（舍去），
∴OG=．
又∵CD=OC-OD=4-1.5=2.5，
∴S△PDC=CD•GO=××=，
∴S△AOD=AO•DO=×2×=，
∴S△PDC＞S△AOD．
又∵S△APC=S△PDC+S△ADC，S△AOC=SAOD+SADC，
∴S△APC＞S△AOC，
②在第一象限内，设在抛物线上存在点P′（m，n），
使得，
过点P′作P′M⊥x 轴于点M，
则m＞0，n＞0且n=-m2+4．
∴OM=m，P′M=-m2+4，OA=2，AM=m+2，
设AP′交y轴于点D′，设OD′=t，
∵OD′∥P′M，
∴=，即=，
化简得mt+2t=8-m2 ①
∵CD′=OC-OD′=4-t，
∴S△P′CD′=CD′•OM=（4-t）•m，
S△AOD′=OA•OD′=×2•t=t，
∵，
∴，
即t=（4-t）m，即mt+2t=4m ②
由①②两式得8-2m2=4m，
即m2+2m-4=0，
解得：m1=-1，m2=--1（不合题意舍去），
此时，．
∴存在点P′（-1，2-2），
使得．