Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．当tan∠ADE=时，求EF的长．

Answer

过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，由tan∠ADE=，根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF．
【解析】
过D作DG⊥BC于G．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠DGB=∠A=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∵AB=AD=6，
∴四边形ABGD是正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，
∵，
∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC，AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
∵，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF，
∵tan∠ADE==，
∴AE=GC=×6=2．
∴BC=BG+CG=AD+AE=8，
设CF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．
由勾股定理得：x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，
即EF=5．