Question

已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

Answer

（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．
（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值的表达式求解即可．
【解析】
（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
x2-mx-2x=p2-pm-2p，
∴（x-p）（x+p）-x（m+2）+p（m+2）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x1=p，x2=m+2-p，
∵m+2＞2p＞0
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．

（2）∵OC=OB，S△AOB=OA•OB，
∴S△AOB=OA•OB=P•（m+2-p），
=-P2+（m+2）•P，
∴当p=-（m+2）时，S△AOB最大．