Question

如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是    ．

Answer

根据圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，设上底长是2b，利用勾股定理得出，则x2-（2-b）2=R2-b2=CP2，再利用二次函数最值求出即可．
【解析】
圆心为O，连接OD，OC，过O作OE⊥CD，过C作CP⊥OB，
∴E为DC的中点，DE=CE=CD=b，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO=∠EOP=∠OPC=90°，
∴四边形EOPC为矩形，
∴EC=OP，

则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，
设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，
则CP2=OC2-OP2=CB2-PB2，
即x2-（2-b）2=22-b2，
整理得b=2-，
所以y=4+2x+2b=4+2x+4-=-+2x+8，
∴该梯形周长的最大值是：==10．
故答案为：10．