Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论．

Answer

△ADE与△AEB相似，证明如下：由∠C=90°，且AC=EC，得到△AEC为等腰直角三角形，且得到BE等于2AB，同时可得出∠AEC=45°，根据锐角三角函数定义表示出关系式，得出AE与AC的关系，即为AE与DE的关系，求出AE与DE的比值，由BE为AC的2倍，求出BE与AE的比值，可得出两比值相等，再根据夹角为公共角，利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可得出△ADE与△AEB相似，得证．
【解析】
△AED∽△BEA，…（2分）
证明如下：
在△AED和△BEA中，
∵△ABC中，∠C=90°，BD=DE=EC=AC，
∴△AEC为等腰直角三角形，BE=BD+DE=2BD=2AC，
∴∠AEC=45°，即sin∠AEC=，
∴AE==AC，
∴===，…（3分）
∵∠AED=∠BEA，…（4分）
∴△AED∽△BEA．…（5分）