Question

如图，圆O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一动点，线段AP交圆O于点D，过D点作圆O的切线交OP于点E．
（1）观察图形，点P在移动过程中比较DE与EP的大小关系，并对你的结论加以证明；
（2）作DH⊥OP于点H，若HE=6，DE=，求圆O半径的长．

Answer

（1）DE=EP，连接OD，根据切线的性质定理和圆的半径相等即可证明结论成立；
（2）由题意可知△DHE为直角三角形，利用锐角三角函数关系求出∠HED=30°，进而求出∠DOB=60°，问题得解．
【解析】
（1）DE=EP…（1分）
证明如下：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD
∴∠OAP=∠ODA
∴∠EDP=∠ADF=90°-∠ODA=90°-∠OAP
∵AO⊥OP
∴∠P=90°-∠OAP
∴∠P=∠EDP，
∴DE=EP；

（2）在Rt△DHE中，
∵HE=6，DE=，∠DHE=90°
∴cos∠HED=，
∴∠HED=30°
∴∠DOB=60°，
∵△ODE是直角三角形，DE=，
∴OD=4．