Question

如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交BC于E，M、N分别是AC、BC上的点，且DN⊥DM．
（1）求证：△DNE∽△MDA；
（2）若AC=6，BC=8，求tan∠DMN的值．

Answer

（1）由DE⊥AB，DN⊥DM，根据同角的余角相等，即可得∠EDN=∠ADM，又由DE⊥AB，∠C=90°，根据同角的补角相等，即可得∠NED=∠A，根据由两角对应相等的三角形相似，即可证得△DNE∽△MDA；
（2）由△DNE∽△MDA，D是AB的中点，根据相似三角形的对应边成比例，易得，即可证得Rt△BDE∽Rt△BCA，由AC=6，BC=8，即可求得tan∠DMN的值．
【解析】
（1）∵DE⊥AB，DN⊥DM，
∴∠EDN+∠EDM=∠EDM+∠ADM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠NED+∠DEC=∠A+∠DEC=180°，
∴∠NED=∠A，
∴△DNE∽△MDA   …（5分）

（2）∵△DNE∽△MDA，
∴，
∵D是AB的中点，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴，
∴，
在Rt△MDN中，tan∠DMN===．…（9分）