Question

如图，n+1个边长为1的等边三角形一边均在同一直线上，设△BMN面积为S，△B₁M₁N₁面积为S₁，△B₂M₂N₂的面积为S₂，…，△B_nM_nN_n的面积记为S_n，则：
①S=    ，
②请你计算归纳S₁，S₂，…，可得S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=    ．

Answer

①连接BB1，由于△BAN是边长为1的等边三角形，则S△BAN=．由于BN∥B1A且BN=B1A，则四边形BNAB1是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出BM=AM，则S=S△BAN=；
②连接B1、B2、B3…Bn点，显然它们共线且平行于NAn，则B1B2∥NA，△B1B2N1∽△ANN1，△B1B2M1∽△A2NM1，根据相似三角形的性质得出B1N1：AN1=B1B2：AN=1，B1M1：M1A2=B1B2：A2N=1：2，然后根据三角形的面积公式得出S1=×S△BAN，同理，可求出S2=×S△BAN，…，S2011=×S△BAN，最后将它们相加即可．
【解析】
①连接BB1．
∵△BAN是边长为1的等边三角形，∴S△BAN=．
∵∠BNA=∠B1AA2=60°，∴BN∥B1A，
∵BN=B1A，∴四边形BNAB1是平行四边形，
∴BM=AM，
∴S=S△BAN=；

②连接B1、B2、B3…Bn点，显然它们共线且平行于NAn，则B1B2∥NA，
∴△B1B2N1∽△ANN1，△B1B2M1∽△A2NM1，
∴B1N1：AN1=B1B2：AN=1，B1M1：M1A2=B1B2：A2N=1：2，
∴B1N1=AB1，B1M1=A2B1，
∴S1=×B1N1×B1M1sin∠N1B1M1=×AB1×A2B1sin∠N1B1M1=×S△BAN=（-）S△BAN，
同理，△B2B3N2∽△A2NN2，△B2B3M2∽△A3NM2，
∴B2N2：A2N2=B2B3：A2N=1：2，B2M2：M2A3=B2B3：A3N=1：3，
∴B2N2=A2B2，B2M2=A3B2，
∴S2=×B2N2×B2M2sin∠N2B2M2=×A2B2×A3B2=×S△BAN=（-）S△BAN，
…，
∴S2011=×S△BAN=（-）S△BAN，
∴S1+S2+…+S2011=（-）S△BAN+（-）S△BAN+…+（-）S△BAN=（-）S△BAN=×=．
故答案为：①；②．