Question

如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．

Answer

（1）由于DE垂直平分AC，可得两个条件：①DE⊥AC，②E是AC的中点；由①得：∠DEC是直角，则DC是⊙O的直径，若连接OE，则OE⊥BE，且∠BOE=2∠C；欲求∠C的度数，只需求出∠EBO、∠C的比例关系即可；由②知：在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，则BE=EC，即∠EBO=∠C，因此在Rt△EBO中，∠EBO和∠EOB互余，即3∠C=90°，由此得解．
（2）根据AB、BC的长，利用勾股定理可求出斜边AC的长，由（1）知：E是AC的中点，即可得到EC的值；易证得△DEC∽△ABC，根据所得比例线段，即可求得直径CD的长，由此得解．
【解析】
（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
∴DC的中点O即为圆心；
连接OE，又知BE是圆O的切线，
∴∠EBO+∠BOE=90°；
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C；
又∵OE=OC，
∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°，
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°．

（2）在Rt△ABC中，AC=，
∴EC=AC=，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴DC=，
∴△DEC外接圆半径为．