Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=AO=OE，解直角三角形求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【解析】
（1）∵直径AB⊥DE，
∴CE=DE=．
∵DE平分AO，
∴CO=AO=OE．
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO==，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE===2．
∴⊙O的半径为2．

（2）连接OF．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°-45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S扇形OEF=×π×22=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF=×OE×OF=2．
∴S阴影=S扇形OEF-SRt△OEF=π-2．