Question

如图，D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，M是BC边上一动点（不与D点重合）．△EMG是等边三角形，连接CG、DG．下列结论：①S_{四边形AFME}=S_△ABC； ②△FBM∽△MCG；③CG∥AB； ④DG=FM．其中结论正确的是（ ）

A．只有③④
B．只有①②④
C．只有①③④
D．①②③④

Answer

首先连接EF，DE，DF，由D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，根据三角形中位线的性质，可得S四边形AFDE=S△ABC，又由△DEF与△MEF等高等底，故S△DEF=S△MEF，即可得：①S四边形AFME=S△ABC；易证得△EDC是等边三角形，然后可得△MED≌△GEC，即可判定∠BCG=∠ABC=60°，即可得CG∥AB；又由△FDM≌△DCG，可得DG=FM．
【解析】
连接EF，DE，DF，
∵D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，
∴EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，EF=BC，
∴△AEF∽△ACB，△EFD∽△BCA，
∴，，
∴S四边形AFDE=S△ABC，
∵S△DEF=S△MEF，
∴S四边形AFME=S△ABC；故①正确；
∵△ABC与△EMG是等边三角形，
∴∠ECD=60°，EM=EG，AB=AC，
∴DE=EC=AC，
∴△EDC是等边三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠MED+∠DEG=∠DEG+∠GEC=60°，
∴∠MED=∠GEC，
在△MED和△GEC中，
∵，
∴△MED≌△GEC（SAS），
∴∠ECG=∠EDG=180°-∠EDC=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCG=∠ABC=60°，
∴CG∥AB；故③正确；
∵∠B=∠MCG=60°，
而∠BFM不一定等于∠CMG，
∴△FBM与△MCG不一定相似；故②错误；
∵△MED≌△GEC，
∴DM=GC，
∵DF∥AC，
∴∠FDM=∠ACB=60°，
∵CD=DE=DF，
在△FDM和△DCG中，
∵，
∴△FDM≌△DCG（SAS），
∴DG=FM；故④正确．
故选C．