Question

如图，Rt△ACD中，∠ACD=90°．以AC边为直径作⊙O，交AD于E．过E作⊙O的切线EB，交CD于B．连接EC、AB，交于F点．
（1）求证：；
（2）若，求tan∠ABC的值．

Answer

（1）根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角可得∠AEC=90°，再根据切线的判定可证明CB为圆的切线，再根据切线长定理即可证明BE=CD；
（2）连接OB，交EC于G，设BG=AE=2x，利用条件证明AE∥BG，进而证明△AEF∽△BGF，利用相似三角形的性质和直角三角形的性质即可求出tan∠ABC的值．
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴CB是⊙O的切线，
又EB是⊙O的切线，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
可得∠DEB=∠D．
∴BE=BD，
∴BE=CD；

（2）【解析】
连接OB，交EC于G．
可得OB⊥EC，EG=CG．
∴AE∥BG．
∵，可得EF=FG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，得BG=AE，
设BG=AE=2x，
∴OG=x．
∵CG⊥OB，∠OCB=90°，
可得OC=x，BC=x．
在Rt△ACB中，∵AC=2OC=2x，BC=x．
∴tan∠ABC=．