Question

春节前期，某超市出售某种进价为每千克110元的开心果．调查发现，若每千克以130元的价格出售，平均每天销售这种开心果30千克，销售价格每降低1元，平均每天可多销售20千克（售价不得低于115元/千克）．设每千克降低售价x元（x为正整数），每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每千克开心果的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？每天获得的最大利润是多少？
（3）若每天销售这种开心果的利润不低于1 950元，则销售价应在什么范围？

Answer

（1）每天的销售利润=降价后每千克的销售利润×（30+多销售的千克数），根据售价的范围可得自变量的取值；
（2）易得二次函数的对称轴，进而得到离对称轴最近的整数，算出相应的利润即可；
（3）让销售利润=1950，得到x的值，进而得到售价的取值范围即可．
【解析】
（1）y=（130-110-x）（30+20x）
=-20x2+370x+600（1≤x≤15，且x为整数）；

（2）∵a=-20＜0，
∴当时，y有最大值，
∵x为正整数，
∴当x=9时，y有最大值：-20×92+370×9+600=2310（元）
∴当售价定为121元/千克时，每天利润最大，最大利润为2 310元；

（3）当y=1 950时，有-20x2+370x+600=1 950．
解得x1=5，．
∵x为正整数，
∴5≤x≤13，且x为整数．
∴售价在不低于117元/千克且不高于125元/千克且为整数时，每天的销售利润不低于1 950元．