Question

正方形ABCD中，E为AD上的一点（不与A、D点重合），AD=nAE，BE的垂直平分线分别交AB、CD于F、G两点，垂足为H．
（1）如图1，当n=2时，则=______；
（2）如图1，当n=2时，求的值；
（3）延长FG交BC的延长线于M（如图2），直接填空：当n=______时，．

Answer

（1）如图1，过点H作HM⊥AD，构建平行线HM∥GD，由平行线分线段成比例定理可得==；
（2）如图2，连接EG、BG．构建直角三角形BGC和直角三角形DEG．由正方形ABCD的性质、线段垂直平分线的性质、已知条件“当n=2时，AD=2AE”设AB=BC=CD=AD=4x，CG=y，利用勾股定理求得BG2=（4x）2+y2=EG2=（2x）2+（4x-y）2，解得DG=DC-CG=；然后根据相似三角形Rt△BHF∽Rt△BAE的对应边成比例可得BF=；最后将其代入所求的代数式求值即可；
（3）如图3，可通过构建相似三角形求解，过点H作HK⊥BC于点K，那么HN=KC，MH=AK，根据（1）中图1知FH：HG=AM：MD=1：2n-1，由此可以求得DE的长度；再根据已知条件“”可以求得CM的长度；最后利用△CMG∽△BMF的对应边成比例即可求得n的值．
【解析】
（1）如图1，过点H作HM⊥AD于M．
∵BE的垂直平分线分别交AB、CD于F、G两点，HM⊥AD，
∴MH是△ABE的中位线，
∴AM=ME；
∵AD=2AE，
∴AM=DM，
∴==（平行线分线段成比例定理），
故答案为：；

（2）如图2，连接EG、BG．
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=∠C=90°．
设AB=BC=CD=AD=4x，CG=y．
当n=2时，AD=2AE，
∴AE=ED=2x；
在Rt△EDG中，EG2=ED2+DG2（勾股定理），
即EG2=（2x）2+（4x-y）2．
在Rt△BCG中，BG2=BC2+CG2，
即BG2=（4x）2+y2．
∵FG垂直平分BE，
∴EG=BG．
∴（2x）2+（4x-y）2=（4x）2+y2
得y=，
∴DG=DC-CG=．
∵FH⊥BE，
∴∠BHF=90°
可得Rt△BHF∽Rt△BAE，可得BF=．
∴；

（3）n=．