Question

已知⊙O过点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A．
（1）求直线HA的函数解析式；
（2）求sin∠HAO的值；
（3）如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由．

Answer

（1）连OH，作HK⊥x轴于k，根据关于x轴对称的坐标特点得到H点坐标为（3，-4），再根据切线的性质由AH为⊙O的切线，得到OH⊥AH，利用等角的余角相等得到∠OAH=∠KHO，根据三角形相似的判定得RtAKH∽Rt△HKO，则AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，求出AK=，易得A点坐标为（，0），然后利用待定系数法求直线AH的解析式；
（2）在Rt△OKH中，利用勾股定理计算出OH=5，然后在Rt△OAH中，利用正弦的定义即可得到sin∠HAO的值；
（3）过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于T，根据垂径定理得到OM垂直平分DN，即D点与N点关于x轴对称，则N点坐标为（3，-4），ON=5；由DM⊥EF根据等腰三角形的性质可得DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，根据圆周角定理的推论得到弧BN=弧CN，然后利用垂径定理的推论可得OT⊥BC，利用等角的余角相等得到∠TGO=∠MNO，在Rt△OMN，OM=3，MN=4，利用正弦的定义即可得到sin∠MNO==，则sin∠CGO=，即sin∠CGO的大小不变．
【解析】
（1）如图，连OH，作HK⊥x轴于k，
∵点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，
∴H点坐标为（3，-4），
∵AH为⊙O的切线，
∴OH⊥AH，
∴∠AOH+∠OAH=90°，∠KOH+∠KHO=90°，
∴∠OAH=∠KHO，
∴Rt△AKH∽Rt△HKO，
∴AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，
∴AK=，
∴OA=OK+AK=3+=，
∴A点坐标为（，0），
设直线HA的函数解析式为y=kx+b，
把H（3，-4），A（，0）代入得，
解得，
∴直线HA的函数解析式为y=x-；

（2）在Rt△OKH中，OH==5，
在Rt△OAH中，sin∠HAO===；

（3）sin∠CGO的大小不变．理由如下：
过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于T，如图，
则OM垂直平分DN，即D点与N点关于x轴对称，
则N点坐标为（3，-4），ON=5，
又∵△DEF为等腰三角形，DM⊥EF，
∴DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，
∴弧BN=弧CN，
∴OT⊥BC，
∴∠TGO+∠GOT=90°，
而∠MNO+∠MON=90°，
∴∠TGO=∠MNO，
在Rt△OMN，OM=3，MN=4，
∴sin∠MNO==，
∴sin∠CGO=．
即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin∠CGO的值不变．