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如图,点C在以AB为直径的半圆O上,延长BC到点D,使得CD=BC,过点D作DE...

如图,点C在以AB为直径的半圆O上,延长BC到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,点G为DF的中点,连接CG、OF、FB.
(1)求证:CG是⊙O的切线;
(2)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍,求证:OF∥BC.

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(1)连接OC.欲证CG是⊙O的切线,只需证明∠CGO=90°,即CG⊥OC; (2)根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式,以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF;然后根据三角形中位线的判定与定理证得该结论. 证明:(1)如图,连接OC. 在△ABC中,∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角); 又∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO(等边对等角); 在Rt△DCF中,∵点G为DF的中点,∴CG=GF(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半), ∴∠GCF=∠CFG(等边对等角); ∵DE⊥AB(已知),∠CFG=∠AFE(对顶角相等); ∴在Rt△AEF中,∠A+∠AFE=90°; ∴∠ACO+∠GCF=90°,即∠GCO=90°, ∴CG⊥OC, ∴CG是⊙O的切线; (2)∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),即AC⊥BD; 又∵CD=BC,点G为DF的中点, ∴S△AFB=S△ABC-S△BCF=(AC•BC-CF•BC),S△DCG=S△FCD=×DC•CF=BC•CF; ∵△AFB的面积是△DCG的面积的2倍, ∴(AC•BC-CF•BC)=2×BC•CF, ∴AC=2CF,即点F是AC的中点; ∵O点是AB的中点, ∴OF是△ABC的中位线, ∴OF∥BC.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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