Question

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB²=AD•AC；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．

Answer

（1）本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD•AC；
（2）构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用（1）中的结论；
（3）本问是将（2）中的结论推广到一般情形，解题方法与（2）相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴AB2=AD•AC．

（2）【解析】
方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．
∵，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=EG．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=4，
∴AE=4DE，
∴=2．
∵CG∥BF，
∴=2．
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵，
∴BD=DC=BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴==，FC=2FG．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=4，
∵DG∥BF，
∴=4，
∴=2．

（3）【解析】
点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：
（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G．
∵，
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴=n，
∴FG=nGC，FG=FC．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=（n+1）2；
∵DG∥BF，
∴=（n+1）2，
即=（n+1）2，化简得：=n2+n；
（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：=n2-n；
（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：=n-n2．