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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,...

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,3),B(6,3),C(6,0),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A.
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(1)求c的值;
(2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点0,交线段BC于点F.当BF=1时,求抛物线的解析式.
(1)把(0,3)代入函数解析式y=ax2+bx+c中,易求c; (2)当a=-1时,函数解析式是y=-x2+bx+3,设D点坐标是(e,3),E点坐标是(6,f),分别把D、E的坐标代入y=-x2+bx+3中,易求e=b以及f=-33+6b,结合三角形面积公式,易得S=-3b2+18b,求关于b的二次函数的最大值即可; (3)设M的坐标是(g,3),N的坐标是(6,h),根据图乙知直线OF与BC的交点坐标(6,2),进而求直线OF的解析式是y=x,而OF又是MN的中垂线,那么MN的中点就在直线OF上,于是可得g=3h+3①,g2+9=36+h2②,解关于g、h的二元二次方程组,易求g、h(负数舍去),进而可得M、N的坐标,再把M、N的坐标代入y=ax2+bx+3中,得到关于a、b的二元一次方程组,解可求a、b,进而可得二次函数解析式. 【解析】 (1)把(0,3)代入函数解析式y=ax2+bx+c中,得 c=3; (2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E, 则D、E分别在线段AB、BC上,或分别在AB、OC上, 若D、E分别在线段AB、BC上, 在y=-x2+bx+3中,令y=3,得x2-bx=0,解得:x=0或x=b,故D(b,3), 令x=6,得:y=6b-33,故E(6,6b-33), ∵0≤6b-33<3, ∴≤b<6, 又∵AD=|b|=b,EB=|3-(6b-33)|=36-6b, △ADE的面积S=AD•BE=b(36-6b)=-3b2+18b=-3(b-3)2+27, 则当b=时,S有最大值. 若D、E分别在AB、OC上, △ADE的面积S=AD•BE=b•3=b, ∵抛物线的对称轴为:x=, 当过点C时,抛物线为:y=-x2+x+3, ∴0<≤, ∴当b=时,S有最大值. (3)当点M、N分别在AB、OC上时,过M作MG⊥OC于点G,连接OM, ∴MG=OA=3,∠2+∠MNO=90°, ∵OF垂直平分MN, ∴OM=ON,∠1+∠MNO=90°, ∴∠1=∠2, ∴tan∠1==,tan∠2=tan∠1=, ∴GN=GM=1,设N(n,0),则G(n-1,0) ∴M(n-1,3) ∴AM=n-1,ON=n=OM, 在直角△AOM中,OM2=OA2+AM2, ∴n2=32+(n-1)2,解得:n=5, ∴M(4,3),N(5,0), 把M、N代入二次函数的解析式得: 解得:, 则函数的解析式是:y=-x2+x+3; 如右图, 当点M、N分别在AB、BC边上时, 设M的坐标是(g,3),N的坐标是(6,h), 直线OF与BC交点的横坐标是6,纵坐标是3-1=2, 把(6,2)代入函数y=kx中,得k=, 故直线OF的解析式是y=x, ∵OF垂直平分MN, ∴点(,)在直线y=x上,OM=ON, ∴•=,g2+9=36+h2, 即g=3h+3①,g2+9=36+h2,② 解关于①②的方程组,得 或(负数不合题意,舍去), 把(,3)、(6,)代入二次函数y=ax2+bx+3中,得 , 解得. 故所求二次函数解析式是y=-x2+x+3. 则二次函数解析式是y=-x2+x+3或y=-x2+x+3.
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考点分析:
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甲班11341116122
乙班1251215132
请根据以上信息解答下列问题:
(1)甲班学生答对的题数的众数是______
(2)若答对的题数大于或等于7道的为优秀,则乙班该次考试中选择题答题的优秀率=______(优秀率=manfen5.com 满分网×100%).
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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