Question

如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：≈1.73）

Answer

易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的三边的长度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AE和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AED中，利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．
【解析】
过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=x
则AF=AB-BF=AB-DE=x-50
DF=BE=BC+CE=x+50
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=，
∴，
∴x=50（3+）≈236.5（米），
经检验：x=50（3+）是原分式方程的解．
答：山AB的高度约为236.5米．