Question

某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）

Answer

（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组，解方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到-100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50-m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50-m），根据成本=材料费+加工费得到W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本．
【解析】
（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则，解得，
所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，
由题意：-100m+40000≤38000，解得m≥20，
又∵50-m≥28，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
∴m的值为20，21，22，
共有三种方案，如下表：
A（件） 20 21 22
B（件） 30 29 28

（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50-m），
则W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，
∵W 随m的增大而减小，而m=20，21，22，
∴当m=22时，总成本最低，此时W=-200×22+55000=50600元．