Question

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．

Answer

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BAC，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线；
（2）连CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形；
（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有，即FC=，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则，即FG=，然后求FC与FG的比即可一个定值．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠CBD=∠BAC，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；

（2）证明：连CE、OC，BE，如图，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED，
∴OB=BE=OE，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC=60°，
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE，
∴AC∥OE且AC=OE，
∴四边形OACE是平行四边形，
而OA=OE，
∴四边形OACE是菱形；

（3）【解析】
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°，
而AC∥OD，
∴∠CAF=∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
∴，即FC=，
又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴，即FG=，
∴==2，
∴=．