Question

如图，已知矩形ABCD在直线l的上方，BC在直线l上，AB=a，AD=b（a、b为常数），E是BC上的一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线l的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．
（1）求证：△ADG∽△ABE；
（2）过F作FH⊥l，求证：△ADG≌△EHF；
（3）连接FC，判断当点E由B向C运动时，∠FCH的大小是否总保持不变？若∠FCH的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCH的值；若∠FCH的大小发生改变，请举例说明．

Answer

（1）由于AB⊥BC，AD⊥CG，且∠DAG+∠DAE=∠BAE+∠DAE=90°，则∠DAG=∠BAE，由此△ADG∽△ABE得证．
（2）由∠2=∠3，AG=EF可证得Rt△ADG≌Rt△EHF（ASA）．
（3）∠FCH的大小总保持不变，由△EHF∽△ABE可得tan∠FCH=．
（1）证明：
∵G在射线CD上，∴∠ADG=∠ABE=90°．
又∵∠1=90°-∠EAD，∠2=90°-∠EAD，
∴∠1=∠2，
∴△ADG∽△ABE．

（2）证明：∵矩形ABCD和矩形AEFG中，∠1、∠3都与∠AEB互余，
∴∠1=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3．
∠ADG=∠EHF=90°，AG=EF．
∴△ADG≌△EFH（AAS）．

（3）【解析】
∠FCH的大小总保持不变．
在Rt△FEH中，tan∠FCH=，
而由（2）知EH=AD=BC，∴CH=BE，
又由（1）、（2）可得知△EHF∽△ABE，
∴在Rt△FEH中，tan∠FCH====．