Question

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，2.25），水柱的最高点的坐标为（1，3），求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；
（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m，最内轨道的半径为rm，其上每0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏．求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？

Answer

（1）根据题意确定抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线解析式为y=a（x-1）2+3，根据水柱高为2.25米，将点（0，2.25）代入抛物线解析式求a即可；
（2）根据（1）中求出的抛物线解析式求水柱落地点离池中心的距离，根据池中安装地漏的个数m=内圈装地漏的个数×圈数，列出函数关系式，根据二次函数的性质求最大值．
【解析】
（1）如图，依题意建立平面直角坐标系，
∵点（1，3）为抛物形水柱的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+3，将点（0，2.25）代入，得
2.25=a（0-1）2+3，
解得a=-，
因此，抛物形水柱对应的函数关系式为：y=-（x-1）2+3；

（2）当y=0时，-（x-1）2+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
根据实际，x=-1舍去，
所以，x=3，即水柱落地点离池中心3m，
设池中安装地漏m个，依题意得
m=•，即m=（3r-r2）=-（r-）2+50π，
所以，当r=1.5时，池中安装的地漏的个数最多．