Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；
（3）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把C的坐标代入即可求出a的值，再化成顶点式即可；
（2）求出E点坐标，过C作CG∥x轴交BF于G，根据C的坐标求出G的坐标；当是（4，4）时两三角形全等即相似，当是（8，8）时符合相似三角形的判定，即两三角形相似．综合上述共有3个点；
（3）抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1．
∴y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，
顶点D（1，9）；

（2）∵C（0，8），D（1，9）；
代入直线解析式y=kx+b，
∴，
解得：，
∴y=x+8，
∴E点坐标为：（-8，0），
∵B（4，0），
∴x=4时，y=4+8=12，
∴F点坐标为：（4，12），
∴EO=8，
如图1，作CG∥x轴交BF于G，
∵CG∥EO，
∴△FCG∽△CEO，
∵EO=CO，
∴CG=FG，
∴G（4，8），
如图2，当G点坐标为（4，4）时，两三角形全等即相似，
如图3，当G点坐标为（8，8）时符合相似三角形的判定，
故以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似的第一象限的点G的坐标为：G（4，8），G（8，8），G（4，4）；

（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m．
当x=4时，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72个单位长．