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如图,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上,B、C在x轴的正半轴上,且矩形始终在抛...

如图,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线manfen5.com 满分网上,B、C在x轴的正半轴上,且矩形始终在抛物线与x轴围成的区域里.
(1)设点A的横坐标为x,试求矩形的周长P关于变量x的函数表达式;
(2)当点A运动到什么位置时,相应矩形的周长最大?最大周长是多少?
(3)在上述这些矩形中是否存在这样一个矩形,它的周长为7?若存在,求出该矩形的各顶点的坐标;若不存在,说明理由.

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(1)根据矩形和抛物线的对称性可知:BC=AD=OE-2x,因此求矩形的周长,就必须先求出E点的坐标,根据已知抛物线的解析式,易求得E点的坐标,进而可得到BC的表达式,利用矩形的周长公式即可得到关于P、x的函数关系式. (2)将(1)题所得函数关系式化为顶点坐标式,进而可求得P的最大值及对应的x的值. (3)将P=7代入(1)题的函数关系式中,即可求得对应的x的值,进而可根据A点坐标和矩形各边长的表达式求出各顶点的坐标. 【解析】 (1)令y=0,得, 解得x1=0,x2=4, ∴E(4,0);(2分) ∴=,(2分) 即P=. (2)∵(2分) ∴当时,P的最大值为;(2分) 故当点A运动到(,)时,矩形的周长最大,且最大值为. (3)存在;(1分) 当P=7时,得 即4x2-4x-3=0, 解得,;(1分) ∵0<x<2, ∴; 当时,, ∴,,.(2分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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