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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿...

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;
(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形?
(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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(1)根据折叠的性质可知:四边形PCQD的面积是△PCQ面积的2倍,因此只要求出△PCQ的面积即可得出四边形PCQD的面积.可根据P、Q的速度用时间t表示出PC和CQ的长,然后根据三角形的面积公式即可得出△PCQ的面积表达式,也就能求出y,t的函数关系式. (2)当四边形PQBA是梯形时,PQ∥AB,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于PC,AC,CQ,CB的比例关系式,根据这个等量关系即可求出t的值; (3)若PD∥AB,延长PD交BC于点M.在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20;易证明Rt△QMD∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的对应边成比例求得QM=t,再由CQ+QM表示出CM,由PD与AB平行,根据两直线平行得到两对同位角相等,从而得出三角形PCM与三角形ABC相似,由相似得比例,把CM,CP,CA及CB的长代入列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值. 【解析】 (1)由题意知CQ=4t,PC=12-3t ∴S△PCQ=PC•CQ=-6t2+24t ∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称 ∴y=2S△PCQ=-12t2+48t; (2)当四边形PQBA是梯形时,PQ∥AB,△PCQ∽△ACB, 则=,即=, 解得:t=2; 故t为2秒时,四边形PQBA是梯形; (3)设某一时刻t,PD∥AB,延长PD交BC于点M,如图, 若PD∥AB,则∠QMD=∠B,又∵∠QDM=∠C=90°, ∴Rt△QMD∽Rt△ABC 从而 =, ∵QD=CQ=4t,AC=12, AB==20, ∴QM=t, ∵PD∥AB, ∴∠CPM=∠A,∠PMC=∠B, ∴△PCM∽△ACB, ∴=,即 =, 解得t=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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