Question

已知等边△ABC和⊙M．
（l）如图1，若⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，求证：AM∥BC；
（2）如图2，若⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，求证：四边形ABCM是平行四边形．

Answer

（1）由等边△ABC，即可得∠B=∠BAC=60°，求得∠KAC=120°，又由⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，利用切线长定理，即可得∠KAM=60°，然后根据同位角相等，两直线平行，证得AM∥BC；
（2）根据（1），易证得AM∥BC，CM∥AB，继而可证得四边形ABCM是平行四边形．
证明：（1）连接AM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，
∴∠KAC=180°-∠BAC=120°，
∵⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°，
∴∠KAM=∠B=60°，
∴AM∥BC；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠KAC=180°-∠BAC=120°，∠FCA=120°，
∵⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°，∠FCM=∠ACM=∠FCA=×120°=60°，
∴∠KAM=∠B=60°，∠FCM=∠B=60°，
∴AM∥BC，CM∥AB，
∴四边形ABCM是平行四边形．