Question

已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（l）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．
则：I）阴影部分面积为______；Ⅱ）圆扫过的区域面积为______．

Answer

（1）根据图形可得，圆扫过的面积等于一个长为AC，宽为直径的矩形面积，加上一个圆的面积，从而求解即可．
（2）根据（1）的计算方法，由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积，等于圆经过AB扫过的面积+经过BC扫过的面积-（个圆的面积+一个边长为r的正方形的面积）；
（3）根据题意补充图形，先判断出DA和FC为角平分线，然后利用二倍角公式（tanα=）求出阴影部分的两条直角边；圆扫过的区域面积=题（2）中扫过的面积+圆经过CA扫过的面积-（图3中两个蓝线所画阴影部分的面积）．
【解析】
（1）

由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2．
（2）

圆扫过的区域面积=圆经过AB扫过的面积+经过BC扫过的面积-图2中红线围成区域的面积（即是个圆的面积+一个边长为r的正方形的面积），
结合（1）的求解方法，可得所求面积=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）-（πr2+r2）=2r（AB+BC）+πr2-1=（27+π）cm2．
（3）根据题意补充图形如下所示，

连接MH，AG和AD；连接ON、CP和CF，
∵AG⊥GD，AH⊥DH，AG=AH=1cm，
∴DA为∠GDH的角平分线（角平分线性质定理的逆定理），
∴∠ADG=∠ADH=∠GDH=∠EDF，
∵sin∠EDF=sin∠BAC=，cos∠EDF=cos∠BAC=，
∴tan∠ADG==tan∠EDF===，
∴DG=DH=2cm，
同理可求出：FP=FO=3cm，
∴DE=AB-DH-r=6-2-1=3cm，EF=BC-FO-r=8-3-1=4cm，
故阴影部分的面积为：×3×4=6cm2；
而此时圆扫过的区域面积=题（2）中扫过的面积+圆经过CA扫过的面积-（图3中两个蓝线所画阴影部分的面积），
∵∠MAG+∠GAB=∠GAB+∠BAC=90°，
∴∠MAG=∠BAC，
同理可求出：∠PCN=∠BCA，
∴∠MAG+∠PCN=∠BAC+∠BCA=90°，
∴图3中两个蓝线所画阴影部分的面积=（△AGD+△AHD+△FPC+△FOC+个圆）的面积=2××1×2+2××1×3+•π•12=（5+）cm2，
又圆经过CA扫过的面积=2r×AC+πr2=（20+π）cm2，
∴圆扫过的区域面积=（27+π）+（20+π）-（5+）=（42+π）cm2．